حل کار درکلاس صفحه 30 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 30 ریاضی دهم سلام دانش‌آموزان عزیز! این فعالیت در مورد مفهوم مهم **تشابه مثلث‌ها** و نسبت‌های اضلاع در **مثلث‌های قائم‌الزاویه** است که پایه و اساس درس **مثلثات** رو تشکیل می‌ده. بیایید این تمرین رو با هم حل کنیم تا کاملاً بر این مفاهیم مسلط بشید. ### **تحلیل و پاسخ بخش ۱: تشابه مثلث‌ها** **عنوان سوال:**$$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \Rightarrow \frac{AC}{A'C'} = \frac{AB}{\underline{\hspace{1cm}}} = \frac{BC}{\underline{\hspace{1cm}}}$$ **توضیح:** وقتی می‌گیم دو مثلث **متشابه‌**اند ($$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$$)، یعنی اضلاع متناظرشون **نسبت ثابتی** دارن. اضلاع متناظر، اضلاعی هستند که روبروی **زاویه‌های برابر** قرار گرفتن. در این مسئله، داریم: * زاویه $B$ و $B'$ برابر ۹۰ درجه (قائم‌الزاویه) هستند. * زاویه $A$ و $A'$ برابرند (فرض مسئله). پس، دو زاویه از دو مثلث برابرند، در نتیجه زاویه‌ی سوم ($C$ و $C'$) هم قطعاً برابر خواهد بود. بنابراین، این دو مثلث بنا به حالت **تساوی دو زاویه** ($AA'$) متشابه‌اند. حالا بیاییم نسبت اضلاع متناظر رو بنویسیم: 1. ضلع $AC$ (وتر مثلث اول، روبه‌رو به زاویه $B$) متناظر با ضلع $A'C'$ (وتر مثلث دوم، روبه‌رو به زاویه $B'$). نسبت: $$\frac{AC}{A'C'}$$ 2. ضلع $AB$ (روبه‌رو به زاویه $C$) متناظر با ضلع $A'B'$ (روبه‌رو به زاویه $C'$). نسبت: $$\frac{AB}{A'B'}$$ 3. ضلع $BC$ (روبه‌رو به زاویه $A$) متناظر با ضلع $B'C'$ (روبه‌رو به زاویه $A'$). نسبت: $$\frac{BC}{B'C'}$$ **پاسخ جاهای خالی بخش ۱:** $$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \Rightarrow \frac{AC}{A'C'} = \frac{AB}{\mathbf{A'B'}} = \frac{BC}{\mathbf{B'C'}}$$ --- ### **تحلیل و پاسخ بخش ۲: نسبت‌های مثلثاتی** **عنوان سوال:** از تساوی $\frac{AC}{A'C'} = \frac{AB}{A'B'}$ ، جاهای خالی را کامل کنید: $$\frac{AB}{BC} = \underline{\hspace{1cm}}$$ و $$\frac{BC}{AC} = \underline{\hspace{1cm}}$$ **توضیح:** تساوی $\frac{AC}{A'C'} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'}$ که از تشابه به دست آوردیم، **نسبت اضلاع متناظر دو مثلث** رو نشون می‌ده. همون‌طور که خود سوال اشاره کرده، وقتی $\frac{AC}{A'C'} = \frac{AB}{A'B'}$ باشه، می‌تونیم با استفاده از خاصیت **طرفین وسطین** در تناسب (یا به طور دقیق‌تر، خاصیت **تعویض جملات میانگین**)، تساوی رو به شکل زیر بازنویسی کنیم: $$\frac{AC}{A'C'} = \frac{AB}{A'B'} \quad \xrightarrow{\text{جابه‌جایی } A'C' \text{ و } A'B'} \quad \frac{AC}{AB} = \frac{A'C'}{A'B'} \quad \text{(که در واقع همون } \frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'} \text{ هست)} $$ حالا، از تساوی اصلی تشابه، یعنی: $$\frac{AC}{A'C'} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'}$$ می‌دونیم که هر سه نسبت با هم برابرند. می‌تونیم از این تساوی‌ها برای به دست آوردن نسبت‌های داخل یک مثلث استفاده کنیم. خاصیت تناسب به ما می‌گه اگر $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$ باشه، اون‌وقت $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$$ هم برقراره. **1. پیدا کردن $\frac{AB}{BC}$:** از تساوی $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'}$ استفاده می‌کنیم: $$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} \quad \xrightarrow{\text{تعویض } A'B' \text{ و } BC} \quad \frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'}$$ **تفسیر:** نسبت ضلع روبه‌رو به زاویه $C$ ($AB$) به ضلع روبه‌رو به زاویه $A$ ($BC$) در هر دو مثلث **برابر** است. این نسبت در مثلثات همون **تانژانت** ($\tan$) زاویه $A$ هست. **2. پیدا کردن $\frac{BC}{AC}$:** از تساوی $\frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$ استفاده می‌کنیم: $$\frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} \quad \xrightarrow{\text{تعویض } B'C' \text{ و } AC} \quad \frac{BC}{AC} = \frac{B'C'}{A'C'}$$ **تفسیر:** نسبت ضلع روبه‌رو به زاویه $A$ ($BC$) به وتر ($AC$) در هر دو مثلث **برابر** است. این نسبت همون **سینوس** ($\sin$) زاویه $A$ هست. **پاسخ جاهای خالی بخش ۲:** $$\frac{AB}{BC} = \mathbf{\frac{A'B'}{B'C'}}$$ و $$\frac{BC}{AC} = \mathbf{\frac{B'C'}{A'C'}}$$ **نکته نهایی و مهم:** این نتیجه به این معنیه که در تمام مثلث‌های قائم‌الزاویه‌ای که **یک زاویه حاده برابر** ($A = A'$) دارند، **نسبت اضلاع** (مثل سینوس، کسینوس و تانژانت) **مقدار ثابتی** خواهد داشت و به اندازه مثلث بستگی نداره! این دقیقاً دلیل مطالعه **نسبت‌های مثلثاتی** هست.